Продольный изгиб прямого стержня. Устойчивость стержней. Продольный изгиб. Сдвиг и смятие

5. Сдвиг и смятие

Сдвиг – это такой вид деформации, когда в поперечном сечении возникает один внутренний силовой фактор – поперечная сила.

Деформация, при которой происходит искажение прямых углов элементарного параллелепипеда, называется деформацией сдвига (рис. 29, 30).

Рис. 29 Рис. 30

Сдвиг характеризуется двумя параметрами:

1) а – линейное смещение одного сечения относительно другого называется абсолютным сдвигом ;

2) угол γ, на который изменяется прямой угол элементарного параллелепипеда называется относительным сдвигом :

Сдвиг вызывает касательные напряжения

Величина сдвига в пределах упругих деформаций пропорциональна сдвигающей силе Q , расстоянию h , на котором происходит сдвиг, и обратно пропорциональна площади сечения А .

Закон Гука (1-я форма) для сдвига – касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу

Коэффициент G называется модулем сдвига или модулем упругости II рода.

Закон Гука (2-я форма) для сдвига – абсолютный сдвиг прямо пропорционален внутренней силе, ширине элемента и обратно пропорционален жесткости при сдвиге.

GA – жесткость при сдвиге.

Расчетное уравнение при сдвиге:

Смятие – проникновение более твердого тела в менее твердое.

Расчетное уравнение при смятии:

Различают три типа расчетов:

– проверочный – проверка прочности соединения:

– проектный – определение прочностных размеров сечения;

– определение величины допускаемой нагрузки.

6. Кручение

Крутящим моментом в поперечном сечении бруса называется результирующий момент внутренних касательных сил, равный сумме моментов внешних сил, действующих на рассматриваемую часть бруса.

Крутящий момент считается положительным , если наблюдатель со стороны отброшенной части видит вращение вала против хода часовой стрелки, отрицательным – по ходу часовой стрелки.

Закон Гука при кручении – касательное напряжение в произвольном волокне вала прямо пропорционально расстоянию этого волокна до оси.

Результирующий крутящий момент в сечении:

J р – полярный момент инерции площади сечения.

Полярным моментом инерции площади сечения называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до оси, перпендикулярной плоскости сечения.

Касательное напряжение в произвольном волокне вала при кручении:

Полярным моментом сопротивления площади сечения называется отношение полярного момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна до оси.

Расчет вала на прочность – определение его диаметра из условия, что максимальное касательное напряжение не превышает допускаемое.

Расчет вала на жесткость –определение его диаметра из условия, что угол закручивания вала не превышает допускаемого угла закручивания:

7. Поперечный изгиб

Поперечный изгиб – это такой вид деформации, когда силы, действующие на брус, лежат в плоскости симметрии поперечного сечения и перпендикулярны оси бруса (сосредоточенные силы, равномерно распространенная нагрузка, сосредоточенный момент).

Проведем в балке сечение I–I, отбросим правую часть и заменим ее действие на левую внутренними силами Q и М (рис. 32).

Результирующий момент внутренних растягивающих и сжимающих сил в поперечном сечении балки называется изгибающим моментом в данном сечении М .

Q – результирующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки называется поперечной силой в данном сечении.

Итак, в поперечном сечении балки при изгибе возникает два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент .

Изгибающий момент в поперечном сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, взятых относительно рассматриваемого сечения балки. При определении знака изгибающего момента используется следующее правило. Изгибающий момент положителен, если под действием внешней силы балка изгибается выпуклостью вниз (полная чаша); отрицателен, если выпуклостью вверх (опрокинутая чаша) (рис. 34, 35).

7.1. Контроль правильности построения эпюр (рис. 36)

1. Участок балки, на котором нет равномерно распределенной нагрузки (q = 0), – эпюра поперечных сил представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Эпюра изгибающих моментов представляет собой наклонную прямую линию.

2. Участок балки, где q = const, эпюра поперечной силы есть наклонная прямая линия; эпюра изгибающего момента – парабола.

3. Участок балки, где действует равномерно распределенная нагрузка; эпюра поперечной силы обращается в ноль, а эпюра изгибающего момента имеет экстремальное значение.

4. В шарнирах двухопорной балки эпюры поперечных сил в этих точках равны опорным реакциям, а эпюры изгибающих моментов, если не приложен сосредоточенный момент, равны нулю.

5. Если приложена сосредоточенная сила, то на эпюре «Q » происходит скачок на величину этой силы, а на эпюре «М » – излом.

6. Если в точке приложен сосредоточенный момент – пара сил, то на эпюре изгибающего момента происходит скачок на величину этого момента, на эпюре поперечных сил это не отражается.

7.2. Абсолютная и относительная деформация

Закон Гука. Расчетное уравнение при изгибе

Относительная продольная деформация при изгибе прямо пропорциональна расстоянию волокна до оси:

Закон Гука при изгибе – нормальное напряжение прямо пропорционально расстоянию волокна до нейтральной оси.

Основные уравнения теории изгиба:

– кривизна балки (нейтральной оси балки).

EJ x – жесткость балки при изгибе.

Кривизна балки – прямопропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости балки при изгибе.

Расчетное уравнение при изгибе на прочность где W x – осевой момент сопротивления.

Осевым моментом сопротивления площади сечения называется отношение момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна до оси.

8. Продольный изгиб

Сущность явления продольного изгиба.

Формула Эйлера. Критическое напряжение

Внезапное искривление прямолинейной оси стержня под действием сжимающей силы называется продольным изгибом или устойчивостью стержня (рис. 14).

Сила, при которой происходит внезапное искривление оси стержня называется критической или Эйлеровой силой .

Формула Эйлера: где – размеры поперечного сечения.

– приведенная длина стержня,

– коэффициент приведения длины стержня, который зависит от способа закрепления концов стержня.

Критическое напряжение:

– радиус инерции поперечного сечения стержня.

Радиусом инерции площади поперечного сечения называется величина, которая, будучи возведена в квадрат и умножена на площадь поперечного сечения, дает момент инерции площади сечения.

Гибкостью стержня называется отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции:

Критическое напряжение техническая Е) технологическая 115. Подход...

Концепции современного естествознания. Учебно -методическое пособие

Книга >> Философия

Учебное пособие включает в себя 10 ... создать совершенно новую науку – классическую механику . Классическая механика – наука о законах движения... оптоэлектронных устройств, области научного и технического использования). 8.Какике технологии используются в...

Техническая эксплуатация автотранспортных средств в сельском хозяйстве

Учебное пособие >> Транспорт

... : Ю.Г. Корепанов Т38 Техническая эксплуатация автотранспортных средств в сельском хозяйстве: учебно -методическое пособие / Ю.Г. Корепанов. ... механиков . Цель курсового проекта: Углубить и закрепить теоретические и практические знания по предмету «Техническое ...

Производственно техническая инфраструктура предприятий сервисного обслуживания ТМО

Курсовая работа >> Транспорт

Для отдыха; комната мастеров (механиков ); курительные. Для хранения одежды технологических... Учебно -методическое пособие . – Тюмень: ТюмГНГУ, 1996. – 245 с. Напольский Г. М. Технологическое проектирование автотранспортных предприятий и станций технического ...

Учебно -ознакомительная практика в КамчатГТУ

Отчет по практике >> Педагогика

Судовые энергетические установки, судовождение, теоретическая механика , физическая культура, холодильные машины и... методической и др. работы сотрудников кафедры. Подготовка учебников, учебных пособий и других руководств. Пропаганда научных и технических ...

Общие положения

Расчёты на устойчивость

Выше отмечалось, что в сопротивлении материалов рассматривается три вида расчётов: 1) на прочность, 2) на жесткость и 3) на устойчивость.

При рассмотрении напряженно-деформированных состояний растяжения-сжатия, кручения и изгиба решались задачи только по расчётам на прочность и жесткость.

Расчеты на устойчивость в силу их специфики приходятся выделять отдельной темой. Например, что будет показано ниже, при расчётах на устойчивость сжатого стержня необходимо рассматривать одновременно вопросы как сжатия, так и изгиба.

В предыдущих разделах, используя метод сечений для определения внутренних силовых факторов, мы рассматриваем условия статического равновесия отсеченной части стержня. При этом предполагалось, что эта отсеченная часть находится в состоянии устойчивого равновесия. Между тем, в аналитической механике рассматривается три вида равновесия: устойчивое, безразличное и неустойчивое.

Некоторые конструкции, как, например, длинные тонкие стержни, испытывающие сжатие вдоль оси; труба под действием наружной распределенной нагрузки; оболочки под действием сосредоточенной нагрузки при некоторых значениях нагрузки могут перейти из заданного положения равновесия в состояние неустойчивого равновесия. Соответствующие нагрузки получили название критических.

В сопротивлении материалов в качестве примера перехода из состояния устойчивого равновесия в неустойчивое рассматривается сжатие гибкого стержня.

При продольном сжатии стержня может наступить такой момент, когда прямоугольный стержень при разовом воздействии поперечного толчка изогнётся. Такое состояние, когда стержень может иметь как прямолинейную ось, так и изогнутую, получило название «бифуркация». Сжимающая сила, соответствующая такому состоянию, получила название критической силы «Р кр». Задачу по определению критической силы сжатого стержня впервые решил Леонард Эйлер , решая задачу продольного изгиба.

При решении задачи по расчёту длинного тонкого стержня на продольный изгиб Эйлер предполагал, что стержень выполнен из линейно-упругого материала.

Расположим шарнирно опертый стержень в горизонтальном положении, см. рис 12.1. Правый торец стержня опирается на «каток», левый – на неподвижную шарнирную опору.

При действии в сечении «В» критической силы «Р кр» стержень получит боковое выпучивание. Перемещением подвижного шарнира «В» пренебрегаем, считая, что длина стержня 2l остается неизменной. Стержень работает на изгиб. Сечению «Z» соответствует прогиб «V» и кривизна «ρ». Выше было получено выражение для кривизны балки:

В случае потери устойчивости стержень всегда прогибается в плоскости наименьшей жесткости. Поэтому момент инерции не зависимо от обозначения осей при расчете стержней на устойчивость принято обозначать «J min». Дифференциальное уравнение упругой линии балки при продольном изгибе записывается следующим образом:

Дифференциальное уравнение упругой линии балки при продольном изгибе записывается следующим образом:

Прогиб «V» мал, то есть:

И знаменатель левой части уравнения (12.1) можем считать равным единице.

Изгибающий момент может быть определен:

В итоге получаем:

И окончательно дифференциальное уравнение при продольном изгибе получает вид:

Введем обозначение:

Решение уравнения (12.5) ищем в виде:

Постоянные интегрирования определим из граничных условий:

1) При Z=0 , V(A) = 0;

2) При Z=l , V(B) = 0

В итоге решение уравнения (7.5) имеет вид:

V(Z)=A·sin Kl = 0

Для определения критической силы рассмотрим выражение (12…..). Значение, равное нулю, синус принимает при следующих значениях аргумента:

Kl= O; π;2π;…;nπ.

Минимальное значение аргумента получает вид:

С учётом (12.4) можем записать:

Окончательно, полученное Л.Эйлером выражение для критической силы имеет вид:

Согласно (12.7) данное значение критической силы имеет место, когда стержень получает прогиб по полусинусоиде. Но это справедливо только для рассматриваемого случая закрепления стержня. Например, при трёх опорах стержень получает прогиб равный одному периоду синусоиды (см. рис. 12.2).

29 ноября 2011

Проф. С. П. Тимошенко, Устойчивость упругих систем, Техтеоретиздат, 1955; проф. И. П. Прокофьев и А. Ф. Смирнов, Теория сооружений, ч. III, Трансжелдориздат, 1948; проф. И. Я. Штаерман и А. А. Пиковский, Основы теории устойчивости строительных конструкций, Госстройиздат, 1939.

В стальных конструкциях проблема устойчивости имеет очень большое значение. Недооценка ее может привести к катастрофическим последствиям.

Если прямой стержень сжимать центрально приложенной силой Р, то вначале стержень будет оставаться прямым и это состояние равновесия его будет устойчивым. Устойчивое состояние равновесия упругого стержня характеризуется тем, что стержень, нагруженный и затем получивший незначительное возможное отклонение вследствие какой-либо причины (малое возмущение), после прекращения действия этой причины возвращается в свое первоначальное состояние, совершив незначительные затухающие колебания.

Это происходит потому, что внешняя сжимающая сила не в состоянии преодолеть сопротивляемость стержня тому незначительному изгибу, которому он подвергся при отклонении оси, т. е. потому, что внутренняя упругая работа деформации изгиба стержня, полученная вследствие отклонения оси (потенциальная энергия изгиба ΔV), больше внешней работы (ΔТ), которую совершила сжимающая сила в результате сближения концов стержня при его изгибе: ΔV > ΔТ.

а — основной случай;
б — кривые критических напряжений для стали марки Ст. 3 и коэффициента продольного изгиба:

1 — кривая Эйлера;
2 — кривая критических напряжений с учетом пластической работы материала;
3 — кривая коэффициента φ.

При дальнейшем увеличении сжимающая сила может достигнуть такого значения, что ее работа будет равна работе деформации изгиба, вызванного любым достаточно малым возмущающим фактором.

В этом случае = ΔV и сжимающая сила достигает своего критического значения Р кр. Таким образом, прямой стержень при нагрузке его силой до критического состояния имеет прямолинейную форму устойчивого состояния равновесия. При достижении силой критического значения его прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой, стержень может изогнуться в плоскости наименьшей жесткости и устойчивым равновесием у него будет уже новая криволинейная форма.

То значение силы, при котором первоначальная устойчивая форма равновесия стержня переходит в неустойчивую, называется критической силой.

При наличии небольшой первоначальной кривизны стержня (или незначительной внецентренности сжимающей силы) стержень с возрастанием нагрузки с самого начала отклоняется от прямой. Но это отклонение вначале мало, и только тогда, когда сжимающая сила приближается к критической (отличаясь от нее в пределах 1%), отклонения становятся значительными, что и означает переход в неустойчивое состояние.

Таким образом, неустойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что уже при малом увеличении сил происходят большие перемещения. Дальнейшее увеличение сжимающей силы Р > Р кр вызывает все возрастающие отклонения, и стержень теряет свою несущую способность.

При этом различным видам закреплений стержня соответствуют различные значения критической силы. Для показанного на фигуре, а центрально сжатого стержня, имеющего по концам шарнирные закрепления (основной случай), критическая сила определена великим математиком Л. Эйлером в 1744 г. в следующем виде:

Напряжение, которое возникает в стержне от критической силы, называется критическим напряжением:

— минимальный радиус инерции;

F 6р — площадь брутто поперечного сечения стержня;

— гибкость стержня, равная отношению расчетной длины стержня к радиусу инерции сечения его.

Из формулы видно, что критическое напряжение зависит от гибкости стержня (так как числитель — величина постоянная), а гибкость — величина, зависящая лишь от геометрических размеров стержня. Следовательно, возможность повышения значения критического напряжения путем изменения гибкости стержня (главным образом за счет увеличения радиуса инерции сечения) находится в руках конструктора и должна быть им рационально использована.

Графически формула Эйлера изображается в виде гиперболы.

Критические напряжения, определенные по формуле Эйлера, справедливы лишь при постоянном модуле упругости Е, т. е. в пределах упругости (точнее, в пределах пропорциональности), а это может иметь место лишь при больших гибкостях (Х > 105), что следует из уравнения:

Здесь σ пц = 2000 кг/см 2 — предел пропорциональности для стали марки Ст. 3.

«Проектирование стальных конструкций»,
К.К.Муханов

Критические напряжения для стержней малых (X > 30) и средних (30 < Х < 100) гибкостей получаются выше предела пропорциональности, но, понятно, ниже предела текучести. Теоретическое определение критических напряжений для таких стержней значительно усложняется вследствие того, что явление потери устойчивости происходит при частичном развитии пластических деформаций и переменном модуле упругости. В результате многочисленных опытов, подтвердивших…

Цель: сформировать представление об устойчивых и неустойчивых формах равновесия, критической силе и коэффициенте запаса устойчивости, о критическом напряжении, гибкости стержня и предельной гибкости.

Устойчивость стоек при упругом и неупругом поведении материала

До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, занимались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гарантирует способности конструкций выполнять предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устойчивость конструкций.

Расчет на устойчивость имеет первостепенное значение для тех элементов конструкций, которые представляют собой сравнительно длинные и тонкие стержни, тонкие пластинки и оболочки. Здесь будут рассмотрены лишь простейшие случаи расчета на устойчивость сжатых стержней.

Напомним основные понятия о видах равновесия, рассматриваемые в разделе «Теоретическая механика».

Равновесие тела называют устойчивым , если при любом малом отклонении от положения равновесия тело возвращается в исходное положение по устранении причины, вызвавшей это отклонение (рис. 79, а). Равновесие тела называют неустойчивым , если при любом малом отклонении от положения равновесия тело не возвращается в исходное положение, а все дальше отклоняется от него (рис. 79, б). При безразличном равновесии тело, будучи отклонено, остается в равновесии и в новом положении (рис. 79, в).

Рис. 79. Положения равновесия шарика: а) устойчивое; б) неустойчивое; в) устойчивое безразличное

Рассмотрим сравнительно длинный и тонкий прямолинейный стержень, нагруженный центрально приложенной силой (рис. 80). Если приложить к стержню поперечную нагрузку, т. е. слегка изогнуть его, то при малых значениях сжимающей силы после снятия поперечной нагрузки стержень вернется в прямолинейное состояние. Это значит, что прямолинейная форма равновесия оси стержня устойчива.

Рис. 80.

При большем значении сжимающей силы слегка изогнутый поперечной нагрузкой стержень после ее устранения медленнее, как бы «неохотнее» возвращается в прямолинейное состояние. Но все же прямолинейная форма равновесия еще устойчива. Наконец, при некотором значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой и возникает новая устойчивая форма равновесия - криволинейная. Происходит так называемое выпучивание стержня. При достижении сжимающей силой критического значения, когда прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой, для перехода к криволинейной форме ненужно прикладывать к стержню поперечную нагрузку, изгиб стержня происходит без видимых внешних причин.

Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы его равновесия, называют продольным изгибом.

Явление перехода стержня от одного равновесного состояния (прямолинейного) к другому равновесному состоянию (криволинейному), называется потерей устойчивости стержня. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими.

В некоторых случаях при потере устойчивости система, переходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает выполнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случаев потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому с точки зрения практических расчетов критическая сила должна рассматриваться как разрушающая нагрузка. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равновесного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.

Основная задача теории устойчивости заключается в определении критического значения внешних сил и ограничении их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости заданной системы в эксплуатационных режимах.

Следует отметить, что для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов. Поэтому расчет стержней должен выполняться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического значения с точки зрения потери их устойчивости.

Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне с двумя шарнирно опертыми концами при действии центральной сжимающей силы F(pnc. 81).

Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине XVIII в., поэтому она носит его имя.

Рис. 81.

Рассмотрим условия, при которых происходит переход от центрально сжатого состояния к изогнутому, т. е. становится возможной криволинейная форма оси стержня при центрально приложенной сжимающей силе F. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая дифференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем

где J mt „ - минимальный момент инерции сечения.

Для определения выражения изгибающего момента M,(z), действующего в поперечном сечении стержня, расположенном на расстоянии z от начала системы координат, применяя метод сечений к системе, изображенной на рис. 81 и рассматривая равновесие отсеченной части системы, расположенной левее от заданного сечения, получим

При положительном прогибе в выбранной системе координат знак «минус» означает, что момент является отрицательным.

Введем следующее обозначение:

Тогда уравнение (108) преобразуется к виду

Решение (110) записывается в виде

Постоянные С и С 2 определяются из граничных условий задачи: у (0) = 0,у (1)= 0. Из первого условия вытекает, что С 2 = 0, а из второго получается, что или С = 0 [что нам неинтересно, так как в этом случаеy(z) = 0], или

Из последнего выражения следует, что kl = пп 9 где п - произвольное целое число. Учитывая (109), получаем:

Следовательно, чтобы центрально-сжатый стержень принял криволинейную форму, необходимо, чтобы сжимающая сила была равна какому-либо значению из множества F „. Наименьшее из этих значений называется критической силой и будет иметь место при п = 1:

а сила носит название первой критической эйлеровой силы.

При F - F Kp выражение прогибов можно записать в следующем виде:

Из (113) видно, что прогибаться стержень будет по синусоиде. Графики функций прогибов у (z) при различных п изображены на рис. 82.

Рис. 82.

Из (112) видно, что с точки зрения устойчивости критическая сила зависит от жесткости стержня и его длины, но никак не зависит от прочностных свойств материала стержня, т. е. два стержня одинаковой длины с идентичными граничными условиями их закрепления, изготовленные из различных материалов, но имеющие одинаковую изгибную жесткость, теряют устойчивость при одном и том же значении сжимающей силы. В этом заключается значительная разница между проверкой прочности стержня на сжатие и растяжение и проверкой на устойчивость.

При изменении условий закрепления концов стержня необходимо решение дифференциального уравнения его изгиба, но уже в виде

Анализ этих решений говорит о том, что все они могут быть представлены в следующем виде:

где fj - коэффициент приведения длины. Он показывает, во сколько раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе стержня длиной / в рассматриваемых условиях закрепления.

Рис. 83.

Обратите внимание: потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формулу (114) входит минимальный осевой момент инерции сечения J x или J y .

На рис. 83 показаны различные способы закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента р.